Halaman
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Penulis : R. Sulaiman Tatag Yuli Eko S Toto Nusantara KusriniIsmail Atik Wintarti Ilustrasi, Tata Letak : Direktorat Pembinaan SMP Perancang Kulit : Direktorat Pembinaan SMP Buku ini dikembangkan Direktorat Pembinaan SMP Ukuran Buku : 21 x 30 cm Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008 510.07CON Contextual Teaching and Learning Matematika: Sekolah Menengah Pertama/ Madrasah Tsanawiyah Kelas IX Edisi 4/R. Sulaiman,...[et. al].--Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. Vi, 188 hlm.: ilus.; 30 cm. Bibliografi: hlm. 184 Indeks.ISBN1. Matematika-Studi dan PengajaranI. JudulII. Eko, Tatag Yuli III. Nusantara, Toto IV. KusriniV. IsmailVI. Wintarti , Atik
KATA SAMBUTAN Salah satu upaya untuk melengkapi sumber belajar yang relevan dan bermakna guna meningkatkan mutu pendidikan di Sekolah Menengah Pertama (SMP), Direktorat Pembinaan SMP mengembangkan buku pelajaran Matematika untuk siswa kelas VII, kelas VIII, dan kelas IX. Buku pelajaran ini disusun berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional No. 22 Tahun 2006 Tentang Standar Isi, No. 23 Tahun 2006 tentang Standar Kompetensi Lulusan, dan berdasarkan kriteria buku pelajaran yang dikembangkan oleh Badan Standar Nasional Pendidikan. Buku pelajaran ini merupakan penyempurnaan dari bahan ajar kontekstual yang telah dikembangkan Direktorat Pembinaan SMP dalam kaitannya dengan kegiatan proyek peningkatan mutu SMP. Bahan ajar tersebut telah diujicobakan ke sejumlah SMP di provinsi Kalimantan Selatan, Kalimantan Timur, Sulawesi Tengah, Sulawesi Tenggara, Sulawesi Utara, dan Gorontalo sejak tahun 2001. Penyempurnaan bahan ajar menjadi buku pelajaran yang bernuansa pendekatan kontekstual dilakukan oleh para pakar dari beberapa perguruan tinggi, guru, dan instruktur yang berpengalaman di bidangnya. Validasi oleh para pakar dan praktisi serta uji coba empiris ke siswa SMP telah dilakukan guna meningkatkan kesesuaian dan keterbacaan buku pelajaran ini. Buku pelajaran Matematika ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan, dan dinyatakan memenuhi syarat untuk digunakan sebagai buku pelajaran di SMP. Sekolah diharapkan dapat menggunakan buku pelajaran ini dengan sebaik-baiknya sehingga dapat meningkatkan efektivitas dan kebermaknaan pembelajaran. Pada akhirnya, para siswa diharapkan dapat menguasai semua Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar secara lebih mendalam, luas serta bermakna, kemudian dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari. Saran perbaikan untuk penyempurnaan buku pelajaran ini sangat diharapkan. Terimakasih setulus-tulusnya disampaikan kepada para penulis yang telah berkontribusi dalam penyusunan buku pelajaran ini, baik pada saat awal pengembangan bahan ajar, ujicoba terbatas, maupun penyempurnaan sehingga dapat tersusunnya buku pelajaran ini. Terimakasih dan penghargaan juga disampaikan kepada semua pihak yang telah membantu terwujudnya penerbitan buku pelajaran ini. Jakarta, Juli 2008 Direktur Pembinaan SMP
vDaftar IsiHalamanKata Pengantar ........................................................................iiiPendahuluan .........................................................................................ivDaftar Isi ................................................................................viiBAB 1Kesebangunan dan Kekongruenan1.1 Bangun-bangun yang Sebangun............................... 21.2 Segitiga-segitiga yang Sebangun ..............................111.3 Segitiga-segitiga yang Kongruen.............................1 9Refleksi ......................................................................3 4Rangkuman ................................................................3 4Evaluasi Mandiri .........................................................3 5BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung2.1 Tabung....................................................................4 02.2 Kerucut...................................................................4 72.3 Bola.......................................................................5 4Refleksi ......................................................................6 0Rangkuman .................................................................6 0Evaluasi Mandiri ..........................................................6 1BAB 3 Statistika3.1 Populasi dan Sampel.................................................6 63.2 Ukuran Pemusatan..................................................7 13.3 Penyajian Data Statistik............................................82Refleksi .......................................................................8 6Rangkuman ................................................................8 7Evaluasi Mandiri .........................................................8 7BAB 4Peluang4.1 Arti Peluang............................................................9 24.2 Nilai Peluang Secara Teoritis...................................103Refleksi ......................................................................117Rangkuman .................................................................117Evaluasi Mandiri .........................................................118BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar5.1 Pangkat dan Akar ..........................................................1245.2 Operasi Bilangan Berpangkat.......................................135Refleksi .......................................................................149Rangkuman .................................................................149Evaluasi Mandiri ........................................................150
viBAB 6 Barisan dan Deret6.1 Pola Bilangan................................................................... 1546.2 Barisan Bilangan.............................................................1646.3 Deret.................................................................................171Refleksi ......................................................................176Rangkuman .................................................................176Evaluasi Mandiri .........................................................177Petunjuk Penyelesaian (Hint) Evaluasi Mandiri ..............................179Daftar Pustaka......................................................................................184Glosarium ............................................................................................185Indeks .................................................................................................188
Kesebangunan dan KekongruenanStandar KompetensiMemahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalahKompetensi Dasar1. Mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen2. Mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen3. Menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalahBab 1
2BAB 1 Kesebangunan dan KekungruenanSyarat Dua Bangun Datar SebangunJika kamu amati uang pecahan Rp50,00danRp100,00 yang terbuat dari logam aluminiumakan tampak bahwa gambar burung Garuda didua uang logam itu sama tetapi ukurannyaberbeda. Permukaan kedua uang pecahan itudapat dipandang sebagai bangun datar.Apa yang akan kamupelajari?Membedakan dua bangundatar sebangun atau tidakseba ngun, dengan menyebut syaratnya.Menghitung panjang sisiyang belum diketahui daridua bangun yangsebangun.Kata Kunci:SebangunFaktor skalaAmatilah pasangan bangun-bangun berikutini.a. b.c. d.KomunikasiManakah pasangan bangun yang bentuknyaberbeda? Jelaskan.Manakah pasangan bangun yang bentuknyasama tetapi ukurannya berbeda? JelaskanGambar 1.1A1.1Bangun-bangun yang Sebangun
Matematika SMP Kelas IX 3ABagaimana dua bangun datar dikatakan sebangun?Apakah segiempat ABCD dan segiempat EFGH di bawahini sebangun?Sudut-sudut yang bersesuaian dari ABCD dan EFGH samabesar yaitu:A = E , B = F , C = G , D = H.Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yangsama yaitu:43HGDCFGBCEFABEHAD atau34DCHGBCFGABEFADEH.Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama dan sisi-sisiyang seletak sebanding, maka segiempat ABCD sebangundengan segiempat EFGH atau ditulis ABCD | EFGH.Sekarang menurut kamu, apakah syarat dari duabangun datar yang sebangun? Apakah sudut-sudut yangbersesuaian harus sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaiansebanding?A9 cm BE12 cm F8 cm 8 cm 6 cm 6 cm D7,5 cm CH10 cm GGambar 1.2 xxRRApakah dua persegipanjang yang masing-masing berukuran12 cm x 8 cm dan 6 cm x 4 cm sebangun?Jawab :12 cm8 cm6 cm4 cmDua bangun datar dikatakan sebangunjika sudut-sudut yang bersesuaian samabesar dan sisi-sisi yang bersesuaiansebandingSebangunContoh 1
4BAB 1 Kesebangunan dan KekungruenanSemua sudut persegipanjang masing-masing siku-sikudengan demikian sudut-sudut yang bersesuaian besarnyasama yaitu 90°.Perbandingan panjang = 2612.Perbandingan lebar = 248.Karena sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisiyang bersesuaian mempunyai perbandingan yang samamaka kedua persegipanjang tersebut sebangun.Dari contoh dan penjelasan di depan diperoleh bahwauntuk menunjukkan apakah dua bangun itu sebangun perludicari terlebih dahulu sudut-sudut yang bersesuaian samabesar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.Perhatikan dua segitiga di atas.Selidiki sisi-sisinya yang bersesuaian (sisi terpanjang,sedang, dan terpendek) apakah sebanding?Apakah kedua segitiga itu sebangun?Seorang tukang akan memasang ubinberbentuk segitiga dalam suatu ruang.Ubin sebenarnya seperti Gambar 1.4.Tukang itu membuat model ubin sepertigambar di bawah.Apakah model di samping sesuaidengan ubin yang akan dipasangkan?24 cm 24 cm Gambar 1.3 1 m 1 m Gambar 1.4 Sumber:www.flickr.com Gambar ubinR13 Q5P12 L3M5K4Cek Pemahaman Cek PemahamanContoh 2
Matematika SMP Kelas IX 5Jawab:Ubin aslinya berbentuk segitiga siku-siku dengan ukuran1 m × 1 m.Ubin model bentuknya sama, yaitu segitiga siku-sikuukuran 20 cm × 20 cm.Sudut-sudut yang bersesuaian sama dan panjang sisi-sisiyang bersesuaian sebanding, sehingga kedua bangun itusebangun. Jadi model itu sesuai dengan ubin yang akandipasangkan.Segibanyak ABCDE sebangun dengan segibanyak RSTUVdengan panjang sisi seperti gambar berikut.BARSTUVCDE9x645yGambar 1.5 a Hitunglah faktor skala dari segibanyak ABCDEterhadap segibanyak RSTUVb Hitung nilai dari x dan y.Jawab :Untuk memecahkan masalah ingatlah langkahnya, yaitumemahami masalah, merencanakan penyelesaian,melaksanakan rencana, dan memeriksa kembali.Memahami MasalahDiketahui: Segibanyak ABCDE sebangun dengansegibanyak RSTUV.Panjang sisi-sisi kedua bangun itu sepertipada gambar 1.5.Ditanya : a. Faktor skala b. Nilai x dan yMenghitung Panjang Salah Satu Sisi yang BelumDiketahui dari Dua Bangun yang SebangunB
6BAB 1 Kesebangunan dan KekungruenanSudahkah kalian pahami arti faktor skala?Faktor skala adalah perbandingan panjang dua sisi yangbersesuaian. Jadi bisa diketahui dari perbandingan AE:RVatau AB:RS atau ED:VU atau DC : UT atau CB : TS.Perbandingan mana yang dipilih? Strateginya adalah pilihpanjang kedua sisi yang diketahui panjang, yaitu AE danRV.Nilai x dan y akan diketahui, jika faktor skala sudahdidapat. Untuk mencari x dapat membandingkan AB danRS. Untuk mencari y dapat membandingkan DC dan UT.Melaksanakan Penyelesaiana. Faktor skala adalah perbandingan panjang dua sisi yangbersesuaian yaitu :2369RVAE.b. Gunakan perbandingan sisi berikut.xABRSAERV496 6x = 36 x = 6.y596DCUTEAVR 6y = 45 y = 7,5.Memeriksa KembaliPeriksa kembali hasil yang sudah diperoleh. Misalkankarena x = 6, maka faktor skala 23464xRSAB. Jadi samadengan jawaban a.Buatlah simpulan dengan mengembalikan pada pertanyaanyang dicari.a. Faktor skala dari segibanyak ABCDE terhadapsegibanyak RSTUVadalah 23.b. Nilai x = 6 dan nilai y = 7,5.Langkah menyelesaikan masalah itu harus kalian ingat danperhatikan. Kalian tidak harus menuliskan langkah sepertimemahami masalah, merencanakan, melaksanakanpenyelesaian, dan memeriksa kembali.Merencanakan Penyelesaian
Matematika SMP Kelas IX 7Diketahui tiga persegipanjang yang sebangun, seperti padagambar di bawah.Hitunglah x dan yJawab:Diketahui: persegipanjangABCD, EFGH, dan PQRS yangsebangun.Panjang sisi-sisi seperti padagambar.Ditanya: x dan yPenyelesaian:Strategi penyelesaian denganmembandingkan langsungpanjang sisi-sisi dari ketigapersegipanjang itu.5,738 xGFBAGHBCxu u35,783x = 60x = 20.1038 yQRBAPQBCyu u31083y = 80y = 3226 atau 26,67.Latihan 1.11.Untuk masing-masing pernyataan di bawah, tulis B jikapernyataan selalu benar, K jika pernyataan kadangkala benardan S jika pernyataan selalu salah.a. Dua persegipanjang sebangun.b. Dua persegi sebangun.c. Segitiga sebangun dengan segiempat.d. Dua jajargenjang sebangun.e. Dua segitiga samasisi sebangun.f. Dua belahketupat sebangun.g. Dua segilima beraturan sebangun.h. Dua segitiga samakaki sebanguni. Dua layang-layang sebangunAB CD83REy10PQSEF G H7,5xLatihan 1.1
8BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan2. Segiempat RSTV sebangun dengan segiempat LMNO.Panjang sisi-sisi dari RSTV berturut-turut 6 cm, 10 cm,12 cm dan 14 cm. Panjang sisi terpendek dari LMNOadalah 9 cm.aTentukan faktor skala (perbandingan panjang sisi-sisi yang sesuai) dari RSTV ke LMNO.bHitunglah panjang sisi yang lain pada segiempatLMNO.cHitunglah keliling LMNO.dHitunglah perbandingan keliling RSTV dan LMNO.3.Diketahui trapesium ABCDsebangun dengan trapesiumAEFG. Besar AGF = 108o,GF= 14 cm, AD = 12 cm, DG =4,5 cm, EF = 8 cm dan AB = 26cm.Tentukan faktor skala ABCDterhadap AEFG.Tentukan :a.(i) AG(ii) DC(iii) besar ADC (iv) BCb.Keliling ABCDc.Keliling AEFGd.Perbandingan kelilingABCD dan keliling EFGA.ABD CEFG4.Pasangan segibanyak dalam gambar berikut adalahsebangun. Tentukan nilai x dan y.A15 BP12 QxRSCT12 15 EyD2416 5.Dapatkah kamu memberi contoh dua segiempat yangperbandingan sisi-sisi bersesuaiannya adalah sama,tetapi kedua segiempat itu tidak sebangun?
Matematika SMP Kelas IX 96.Dapatkah kamu memberi contoh dua segiempat yangsudut- sudut bersesuaiannya adalah sama, tetapi keduasegiempat itu tidak sebangun?7.Selidiki apakah dua segitiga yang perbandingan sisi-sisinya yang bersesuaian sama adalah sebangun?8.Lukisan dan bingkainya pada gambar di sampingadalah sebangun. Jika panjang lukisan 80 cm, panjangbingkai 100 cm dan lebar lukisan 60 cm, tentukan lebarbingkainya.64y63 cm x10. Segiempat ABCD dan segiempat RSTU gambar di bawahsebangun. Tentukan x, y, dan z.243xRSTUDzCy6BA5Sumber : www.warungbarangantic.blogspot.com9. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika ketiga gambar dibawah ini sebangun, maka tentukan x dan y.
10BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan11. Diketahui segiempat RSTU dan segiempat WXYZ dibawah ini sebangun. Tentukan a, b, c, dan d.12. Sebuah pigura foto berbentuk persegipanjang 40 cm x 60cm dan sebuah foto berbentuk persegipanjang berukuran30 cm x 40 cm. Apakah bentuk pigura dan foto sebangun?Ubahlah salah satu ukuran pigura agar pigura dan fotosebangun. Berapakah ukurannya?13. Sebuah map berukuran persegipanjang dengan ukuran25 cm x 35 cm dan kertas berukuran 21 cm x 32 cm.Apakah bentuk map dan kertas sebangun? Gantilah salahsatu ukuran kertas agar bentuk map dan kertas sebangun?14. Padanan sebangun dalam Bahasa Inggris adalah “simi-lar”. Segitiga yang sebangun (similar triangle) banyakdijadikan sebagai masalah dalam matematika. Kunjungihttp://www.analyzemath.com/Geometry/similar_triangle_problems.html untuk mengetahuimasalah-masalah yang berkaitan dengan segitiga yangsebangun sekaligusXWZY6d108°95°85°c3U410 TSR95°108 °b685°a°
Matematika SMP Kelas IX 11Ahli matematika Yunani, Thales, adalahorang pertama yang mengukur tinggipiramida menggunakan sifat geometri. Diamenunjukkan bahwa perbandingan antaratinggi piramida dengan pekerja sama denganperbandingan antara tinggi masing-masingbayangannya.Tinggi pirami-da AB = ? Bayangan piramida BC = 576 kaki Bayangan pekerja FD = 6 kaki Tinggi pekerja EF = 5 kaki Diskusikan bersama kelompokmu.Dengan menggunakan keterangan di atas,dapatkah kamu mencari tinggi piramida?Segitiga-segitiga yang sebangun dapatmembantumu menyelesaikan masalah-masalah seperti di atas. Bagaimana kamudapat mengetahui dua segitiga sebangun?Pada pelajaran sebelumnya kamu sudahbelajar menentukan apakah dua segibanyaksebangun. Sekarang akan dipelajari cara-cara untuk menentukan apakah dua segitigasebangun.Gambar 1.6 Dit. PSMP, 20061.2Segitiga-segitiga yang sebangunSyarat Dua Segitiga SebangunAApa yang akan kamupelajari?Syarat dua segitigasebangun.Menentukan perbandi-ngan sisi dua segitiga yangsebangun dan menghitungpanjangnyaMemecahkan masalah yangmelibatkan konsepkesebangunanKata Kunci: Segitiga sebangun Sisi yang bersesuaian
12BAB 1 Kesebangunan dan KekungruenanPemodelan MatematikaDengan bantuan penggaris dan busur derajat:1) gambarlah 'DEF dengan besar D = 35°, besar F =80°, dan DF = 4cm2) gambarlah 'TRS dengan besar T = 35°, besar S =80°, dan ST = 7cm3) ukurlah panjang RTdanRSEDEF,,.4) hitunglah perbandingan RTEDdanRSEF,STFD.Catat hasil-hasil yang kamu peroleh di atas pada tabelberikut.Panjang sisi pada ' DEF Panjang sisi pada ' RST Nilai Perbandingan EF ED RS RT STFDRSEFRTEDApakah 'DEF dan 'TRS sebangun?Apakah hasil yang kamu peroleh menunjukkan bahwa jikapada dua segitiga, sudut-sudut yang bersesuaian samabesar maka sisi-sisi yang bersesuaian sebanding?Jika kamu setuju, berarti bahwa :Gunakanlah penggaris dan busur derajat.1) Gambarlah segitiga ABC dengan AB = 8 cm, BC = 6cm, dan AC = 7 cm.2) Gambarlah segitiga PQR dengan PQ = 4 cm, QR = 3cm dan PR = 3,5 cm.3) Ukurlah besar A, B, C, P, Q, R.4) Apakah besar A = P, B = Q , C = R.Apakah 'ABC dan 'PQR sebangun?Kerja KelompokJika pada dua segitiga sudut-sudutyang bersesuaian sama besar, makakedua segitiga itu sebangun.SegitigaSebangun
Matematika SMP Kelas IX 13Apakah hasil yang kamu peroleh menunjukkan bahwa jikapada dua segitiga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding,maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar?Karena pada dua segitiga, jika sudut-sudut yangbersesuaian sama besar mengakibatkan dua segitiga itusebangun, maka berarti bahwa:15 45 30 MON21Q7RP10 Selidiki apak ah 'PQR seba ngun de ngan 'MNO. Bag aimana deng an sudut yang bersesuaian? Jawab : 314515MOPR313010MNPQ31ONRQMNPQMOPR31217ONRQ Jadi 'PQR sebangun dengan 'MNO. Akibatnya besar R = be sar O, be sar P = besar M dan besar Q = besar N a. Selidiki apakah 'UTV dan'USRpada gambar di sampingsebangun.b. Tuliskan perbandingan sisi-sisiyang bersesuaian.>>UVTRSContoh 1Cek PemahamanJika pada dua segitiga perbandingansisi-sisi yang bersesuaian sama makakedua segitiga tersebut sebangun.SegitigaSebangun
14BAB 1 Kesebangunan dan KekungruenanGambar di samping DEAB//aT unjukkan bahw a 'ABC dan'EDC sebangun.b Tuliskan perbandingan sisi-sisiyang bersesuaian.ABCDEJawab:Masalah dalam matematika terdiri dari masalahmenemukan dan masalah membuktikan. Masalah iniadalah contoh masalah membuktikan.Langkah menyelesaikan sama dengan masalahmenemukan yang terdiri dari memahami masalah,merencanakan penyelesaian, melaksanakan rencana, danmemeriksa kembali.Diketahui: DEAB// seperti pada gambar di atas.Diminta: a. Buktikan 'ABC |'EDC b. perbandingan sisi-sisinya.Penyelesaian:a. Strategi untuk menunjukkan bahwa 'ABC |'EDCdapat dengan menggunakan gambar langsung dengandiberi tanda kesejajaran.Berdasar sifat kesejajaran didapatA1 = E2 (Karena dua sudut dalamberseberangan besarnya sama)B3 = D3 (Karena dua sudut dalamberseberangan besarnya sama)C1 = C2 (Karena dua sudut tersebutbertolakbelakang besarnya sama)ABCDE311223Karena 'ABC dan 'EDC memiliki sudut-sudut yangbersesuaian sama besar, maka 'ABC |'EDC.b. Perbandingan sisi-sisinya adalah CEACDCBCDEAB.Pemecahan Masalah
Matematika SMP Kelas IX 15ApxDEyqBCPerhatikan gambar di samping.DE//BCKamu sudah dapat membuktikanbahwa 'ADE sebangun dengan'ABC.Misal panjang AD = p dan DB = q. Karena 'ADEsebangun dengan 'ABC maka.yxxqpp.ACAEABAD p(x + y) = x(p + q). px + py = px + qx. py = qx.yxqp.Jadi perbandingan ruasgaris-ruasgaris pada kedua kakisegitiga ABC adalah:yxqpIni menunjukkan bahwa:Menghitung Salah Satu Sisi Segitiga yang BelumDiketahui dari Dua Segitiga SebangunJika suatu garis sejajar dengan salah satusisi segitiga dan memotong dua sisilainnya, maka garis tersebut akanmembagi dua sisi yang dipotong danmempunyai perbandingan yang sama.GarisSejajarB
16BAB 1 Kesebangunan dan KekungruenanPerhatikan gambar di samping,ABDE//a.Buktikan 'ABC sebangun'DEC.b.Hitung x dan y.A BCDEx233y10 1. Perhatikan gambar di samping.a. Tunjukkan bahwa 'PQRsebangun UVW.b. Tentukan pasangan sisi yangbersesuaian yang mempunyaiperbandingan yang sama.2. Perhatikan gambar di samping.a. Tunjukkan 'ABC |'EFD.b. Tentukan pasangan ukuransudut yang sama.3. Tuliskan pasangan-pasangansegitiga pada gambar di sampingyang sebangun.Beri alasan mengapa pasangansegitiga itu sebangun.Petunjuk:Urutkan sudut-sudut yang samabesar pada segitiga yang sebangun.R40qPQCCek PemahamanLatihan 1.2W70qUVDCABBCQCDEFBA915128106
Matematika SMP Kelas IX 174.Pada gambar di sampingEFCDAB////Lengkapi pernyataanberikut :a. .....CEBDACb. HIIECE.....c. GFGEGH.....ACEFDBHGI>>>5.Hitung a,b, c, dan d dari gambar no. 5 – 8 berikut ini.7.4 cm 6 cm b cm 1141 cm 9.Pemecahan Masalah. A, B dan C adalah berturut-turuttitik tengah dari sisi DF, DE, dan FE.a.Jika BC = 11, AC = 13, danAB = 15, hitung keliling 'DEFb.Jika DE = 18, DA = 10, danFC = 7 hitung AB, BC dan AC.DAFBCE5.8.6.
18BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan10.Pemecahan Masalah. Perhatikangambar di samping.Jika besar B = 900, makaa.Tunjukkan 'ADBsebangun dengan 'ABCdan c2 = p.b.b.Tunjukkan 'BDCsebangun dengan DABCdan a2 = q.b.CBactApqDb12. Jika ABED//, AB = 10, BC= 6, AC = 8, CD = 5 danGE = 3.Hitung EC, GC, dan EF.AECDBFG11.Penerapan. Pada saatupacara bendera, kamudan bendera mendapatsinar matahari, sehinggapanjang bayanganmu 200cm dan bayangan tiangbendera 700 cm. Jikatinggimu 160 cm, tentukantinggi tiang bendera.
Matematika SMP Kelas IX 19Amati permukaan dua lembar uang seriburupiah bergambar Kapitan Patimura makaakan tampak permukaan kedua uang itusama bentuk maupun ukurannya.Kedua permukaan uang itu dikatakan samadan sebangun atau sering disebutkongruen. Sekarang perhatikan bangunsegiempat di bawah ini.a. Bagaimana ukuran sisi-sisi segiempatABCD dan segiempat PQRS? Periksalahdengan cara mengukur sisi-sisi yangbersesuaian dengan menggunakanpenggaris.b. Bagaimana ukuran sudut-sudutsegiempat ABCD dan segiempat PQRS?Periksalah dengan cara mengukur sudut-sudut yang bersesuaian denganmenggunakan busur derajat.c. Apakah kedua bangun itu kongruen?Jelaskan!Apa yang akan kamupelajari?Mengenali dua bangundatar yang kongruen a-tau tak kongruen, denganmenyebut syaratnya.Menentukan segitiga yangkongruen.Membuktikan dua segitigakongruenMenentukan perbandi-ingan sisi-sisi duasegitiga yang kongruendan menghitungpanjangnya.Menyatakan akibat daridua segitiga kongruenMembedakan pengertiansebangun dan kongruenKata Kunci:KongruenSyarat Dua Bangun Datar KongruenBA1.3Segitiga-segitiga yang Kongruen
20BAB 1 Kesebangunan dan KekungruenanDengan menggunakan syarat dua bangun kongruen yangtelah kamu tetapkan, carilah pasangan-pasangan bangunberikut yang kongruen.ABCDEFGHGambar 1.9 Pernahkah kamu melihat dasi?Bermacam-macam warna dasi, ada yang polos, bermotifbunga, bermotif garis dan ada juga yang bermotifsegitiga. Gambar 1.9(a) dan 1.9(b) di bawah ini merupakandua contoh kain bahan untuk membuat dasi.Kedua kain di atas bermotif segitiga. Jika kamu perhatikan,bentuk dan ukuran segitiga-segitiga pada setiap kaintersebut adalah sama. Segitiga-segitiga pada setiap kaindi atas merupakan contoh dari segitiga-segitiga yangkongruen. Untuk lebih jelas tentang segitiga yangkongruen, lakukan kegiatan berikut.(a) (b) Gambar 1.10 Dit. PSMP, 2006d. Menurut kamu, apakah syarat dua poligon (segibanyak)kongruen? Jelaskan.e. Carilah benda-benda di sekitarmu yang permukaannyamenurutmu kongruen. Apakah syarat-syarat yang kamuberikan untuk dua bangun kongruen terpenuhi?
Matematika SMP Kelas IX 21Perhatikan Gambar 1.11.A B CDKKLMNGambar 1.11 1). Salinlah persegipanjang pada Gambar 1.11 di atas.2). Jika persegipanjang ABCD digeser ke kanan sepanjangAK, sedemikian hingga titik A berimpit dengan K, makaapa yang terjadi dengan titik-titik lain?3). Apakah persegipanjang ABCD tepat menempati(menutupi) persegipanjang KLMN?Jika benar setiap titik tepat menempati titik-titikpersegipanjang lain, maka dikatakan bahwapersegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjangKLMN dan disimbolkan dengan ABCD # KLMN.SRQPHGFEGambar 1.12 4). Jiplaklah bangun PQRS (lihat Gambar 1.12) padakertasmu dan gunting. Jika model trapesium yang kamubuat dan kamu balik kemudian digeser, maka apakahakan menempati EFGH?Jika benar, maka PQRS # EFGH.ACBQPRGambar 1.13
22BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan5). Jiplaklah 'ABC (pada gambar 1.13) pada kertasmu dangunting. Jika model segitiga yang kamu buat dandibalikkan, kemudian digeser, maka apakah akanmenempati 'PQR?Jika benar, maka 'ABC kongruen dengan 'PQR ditulis'ABC #'PQR.Berikut ini adalah beberapa contoh segitiga-segitiga yangkongruen.1. Pada gambar 1.14 berikut ini, segitiga manakah yangkongruen dengan 'ABC? Kemudian sebutkan perlakuanyang dikenakan pada 'ABC agar tepat menempatisegitiga yang kongruen dengannya.Gambar 1.14 2. Kaitan dengan dunia nyata. Perhatikan foto sebuah tendadi bawah ini.Bagian depan tenda berbentuk segitigaseperti gambar berikut ini.Contoh 1
Matematika SMP Kelas IX 23Apakah 'ACP #'AMP? (jelaskan).Jawab :'ACP #'AMP, karena 'ACP dapat tepatmenempati 'AMP dengan caramencerminkan 'ACP terhadap AP.APCMGambar 1.15Perhatikan gambar jembatan disamping.Supaya kuat, jembatan itu diberibesi yang bagian-bagiannyamembentuk segitiga. Perhatikan'MPO dan 'NQK. Jikadigambar kembali dandiperbesar, akan tampak sepertiGambar 1.16 berikut ini.Jika 'MPO digeser sepanjang dan searahdengan PQ, maka 'MPO tepatmenempati 'NQK. Oleh karena itu, duasegitiga pada Gambar 1.16 adalahkongruen. Jika 'MPO digeser sepanjangdan searah PQ, maka PO berimpitdengan sisi QK, sisi PM berimpit dengansisi QN dan sisi OM berimpit dengansisi KN. Sisi-sisi yang berimpit itudisebut sisi yang bersesuaian (seletak).Jadi, sisi PO bersesuaian (seletak) dengansisi QK, PM bersesuaian (seletak) denganQN dan OM bersesuaian (seletak) denganKN.Gambar 1.16Dit. PSMP, 2006BSifat Dua Segitiga yang KongruenPMONQ K
24BAB 1 Kesebangunan dan KekungruenanHal itu menunjukkan bahwa :Karena titik P berimpit dengan Q, titik O berimpit denganK dan titik M berimpit dengan N, maka besar MPO =besar NQK, besar POM = besar QKN dan besarPMO = besar QNK. Sehingga MPO bersesuaian(seletak) dengan NQK, POM bersesuaian (seletak)dengan QKN dan PMO bersesuaian (seletak) denganQNK.Hal itu menunjukkan bahwa:'UVW dan 'DEF berikut adalah kongruen. Tentukan sisi-sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar.DEF UVWGambar 1.17Jawab:Karena 'UVW kongruen dengan'DEF, menurut sifat dua segitigayang kongruen maka sisi-sisi yangbersesuaian sama panjang. Jadi :UV = DE, UW = DF dan VW = EF.Disamping itu, sudut-sudut yangbersesuaian juga sama besar.Jadi: besar U = besar D, besar V= besar E, danbesar W = besar F.Dua Sigitiga kongruen mempunyaisifat sudut-sudut yang bersesuaiansama besarSifat DuaSegitigakongruenDua Segitiga kongruen mempunyaisifat sisi-sisi yang bersesuaiansama panjangSifat DuaSegitigaKongruenContoh 2
Matematika SMP Kelas IX 25Syarat Dua Segitiga yang Kongruen dan AkibatnyaPerhatikan Gambar berikut.ABCPQRGambar 1.18 AB = PQ, AC = PR dan BC = QR.Jika 'ABC digeser sepanjangdan searah AP, maka : titik Aberimpit dengan P, titik Bberimpit dengan Q, titik Cberimpit dengan R, sehingga'ABC tepat menutup 'PQR.Dengan demikian 'ABC #'PQR.Kesimpulannya adalah:Untuk mempermudah mengingatnya, maka syarat itu hanyaditulis (s, s, s) yang artinya bahwa dua segitiga akankongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang.Selanjutnya, perhatikan gambar di bawah.Dua Segitiga akan kongruen jika ketigasisi yang bersesuaian dari dua segitigaitu sama panjang (s, s, s).Syarat duasegitigakongruenC
26BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan'ABC dan 'PQR mempunyai dua sisi yang sama panjangdan sudut yang diapitnya adalah sama besar, yaitu: AB =PQ, AC = PR dan A = P.Jika 'ABC digeser sepanjang dan searah AP, maka titik Aakan berimpit dengan P. Karena besar A = besar P, makaA berimpit dengan P. Karena AC = PR, maka titik Cberimpit dengan R dan karena AB = PQ, maka titik Bberimpit dengan Q. Sehingga 'ABC tepat menempati(berimpit) dengan 'PQR. Oleh karena itu, 'ABC kongruendengan 'PQR.Kesimpulannya adalah:Untuk mempermudah mengingatnya, maka syarat ituhanya d itulis (s, sd, s) yang artinya bahwa dua segitiga akankongruen jika panjang dua sisi dan sudut yang diapitnyasama besar. Apakah akibatnya jika kedua segitiga itukongruen menurut (s, sd, s)?K ita su d ah m en d ap atk an d u a sy arat d ari d u a seg itig a y an gkongru en. B erikutnya, kita akan m engam ati d ua segitigayang m em punyai satu sisi yang bersesuaian sam a panjangd an su d u t-su d u t yang bersesuaian yang terletak pad a sisi-sisi yang bersesuaian itu sam a panjang. U ntuk jelasnya,p erh atik an g am b ar d i b awah .yABCxyPQRxGambar 1.19 Dua segitiga akan kongruen jika dua sisipada segitiga pertama sama panjang dengandua sisi yang bersesuaian pada segitigakedua, dan kedua sudut apitnya sama besar(s, sd, s).Syarat duaSegitigakongruen
Matematika SMP Kelas IX 27Besar A = besar P, AB = PQ dan besar B= besar Q.AB adalah sisi pada A dan B.PQ adalah sisi pada P dan Q.Karena jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180°,maka:Besar A + besar B + besar C = 180° danBesar P + besar Q + besar R = 180°.Sehingga diperoleh :Besar C = 180° - besar A – besar B dan besar R = 180°- besar P – besar Q.Karena besar A =besar P dan besar B= besar Q, makabesar R = 180° - besar A - besar B.Akibatnya besar C = besar R, sehingga diperolehhubungan:Besar A = besar P, besar B = besar Q, dan besar C= besar R.Dengan demikian ketiga sudut dua segitiga itu sama besar.Karena itu, dua segitiga itu sebangun. Karena dua segitigaitu sebangun, maka akibatnya perbandingan sisi-sisi yangbersesuaian adalah sama, yaitu:PQAB = QRBC = PRACDiketahui bahwa AB = PQ, maka akibatnya adalahPQAB = QRBC = PRAC= 1Dengan demikian diperoleh hubungan AB = PQ, BC = QRdan AC = PR. Hal itu berarti ketiga sisi pada kedua segitigatersebut adalah sama panjang. Berdasarkan syarat (s,s,s)seperti yang telah kita bahas, maka 'ABC #'PQR. Apakahakibatnya?Kesimpulannya adalah:Dua segitiga akan kongruen jika dua sudutpada segitiga pertama sama besar dengandua sudut yang bersesuaian pada segitigakedua, dan sisi yang merupakan kakipersekutuan kedua sudut sama panjang (sd,s, sd).Syarat duasegitigakongruen
28BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan1. Perhatikan 'RQT dan 'SQT pada Gambar 1.20. Selidikiapakah 'RQT kongruen dengan 'SQT? Apakah akibatnya?TQGambar 1.20 RS6 m 6 m 2 m 2 m 2. Perhatikan Gambar 1.21 berikut. Selidiki apakah 'DACkongruen dengan'BAC? Apakah akibatnya?BDAC3 cm 3 cm OOGambar 1.21 3. Pada gambar di samping diketahui bahwa A = M danB = L. Tunjukkan bahwa 'ABC #'MLK.Jawab:Diketahui A = M, B =LAB adalah sisi pada A danB.LMadalah sisi pada M danL. AB = MLKarena A = M, AB = ML,dan B = L, berdasarkansyarat (sd, s, sd), maka 'ABC#'MLK. Akibatnya B =K, BC = KL, AC = KMBCA4 cm LKM4 cm Gambar 1.22 Contoh 3Jawab:Karena RT = ST, RQ = SQ dan TQ =TQ, maka ketiga sisi yang bersesuaiandari dua segitiga tersebut samapanjang. Berdasarkan syarat (s, s, s),'RQT #'SQT.Akibatnya besar R = S, RTQ =STQ dan TQR TQSJawab:Perhatikan 'DAC dan 'BAC.Karena DA = BA, DAC = BAC danAC = AC, maka berdasarkan syarat (s,sd,s), 'DAC #'BAC.Akibatnya CD = BC, ADC = ABC,DCA = BCA
Matematika SMP Kelas IX 29Pernyataan AlasanPerhatikan 'TIE dan 'REI.1. IT = ER, ET = IR, EI = IE1. Diketahui dari Gambar 1.222. a.'TIE #' . . .2a. (s,s,s)b. besar TIE = besar ... danb. seletak (bersesuaian)besar TEI = besar ...Sekarang perhatikan 'TPE dan 'ROI.3. besar TPE = besar ...3. keduanya 9004. besar TEP = besar ...4. berdasarkan 2b5. besar PTE = 900 - besar TEP5. jumlah ketiga sudut segitiga18006. besar ORI = 900 - besar ...6. jumlah ketiga sudut segitiga18007. besar PTE = besar ORI7. berdasarkan 5 dan 64. Pembuktian. Perhatikan Jajargenjang ERIT di sampingTunjukkan bahwa TP = RO.Penyelesaian :Untuk menunjukkan bahwa TP = RO, coba kamu ikutidan lengkapi titik-titik berikut ini.Karena besar TEP = besar RIO, ET = RI dan besarPTE= besar ORI, maka berdasarkan syarat (... , ... , ... ), 'TDE #'ROI. Karena TP seletak (bersesuaian) dengan RO, maka TP =RO.Jadi TP = RO (terbukti).RTIPROGambar 1.22 E
30BAB 1 Kesebangunan dan KekungruenanPerhatikan dua segitiga samasisi di bawah ini.Gambar 1.23 P QRBCAa. Apakah 'ABC sebangun dengan PQR? Jelaskan!b. Apakah 'ABC kongruen dengan PQR? Jelaskan!c. Apakah dua segitiga yang sebangun pasti kongruen? Jelaskan!Menyelidiki : Segitiga yang kongruen adalah sebangunPerhatikan dua segitiga di bawah ini.Gambar 1.24 B PQRACa. Apakah 'ABC sebangundengan'PQR? Jelaskan!b. Apakah 'ABC kongruendengan 'PQR? Jelaskan!c. Apakah segitiga yangkongruen pasti sebangun?Jelaskan!Carilah pasangan-pasangan segitiga yang kongruen danpasangan segitiga yang sebangun dari gambar di bawah ini.DMenyelidiki Kekongruenan Dua segitiga yang Sebangun1 2 3 45678910 Gambar 1.25
Matematika SMP Kelas IX 311. Dengan cara mengukur, tentukan apakah dua segitigaberikut kongruen ? Jika kongruen, kemukakan alasanmudan tentukan sisi dan sudut yang bersesuaian.WVUTLKa.b.2. Apakah pasangan segitiga berikut ini kongruen ? Jika ya,kemukakan alasanmu dan apakah akibatnya?Latihan 1.3CABOMRMa.b.AGNRT735375GECc. d.GEACBD
32BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan3. Pada gambar berikut ini, jelaskan mengapa 'BDF #'MKH, kemudian tentukan nilai m dan n.DB9 t 872OnOmOF4. Apakah 'FKL kongruen dengan 'KFG? Kemukakanalasanmu. Jika kongruen, tentukan sisi yang samapanjang dan sudut yang sama besar.5.PQRS adalah layang-layang. Sebutkan dua segitiga yangkongruen, kemudian sebutkan sisi yang sama panjang dansudut yang sama besar.PSRQ K M s t 872OnO32OH F GLK
Matematika SMP Kelas IX 334. AB = CBY10. Jika garis l tegak lurus ABdan CA = CB, tunjukkanbahwa PA=PB.NABCPlROPETPC 9. CT = RP8. besar ORE = besar OPELPKOPS6. besar TSP = besar TOP7. KP =LM 5. besar OME = besar EROEMOACB
34BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan1.Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudutyang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yangbersesuaian sebanding.2.Dua segitiga dikatakan sebangun, jika sudut-sudut yangbersesuaian sama besar.3.Dua segitiga dikatakan sebangun, jika perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian sama.4.Jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajardengan salah satu sisi segitiga tersebut, maka garis sejajartersebut membagi kedua sisi lainnya pada segitiga ituatas dua ruas garis dengan perbandingan yang sama.RefleksiSetelah kalian mempelajari bab ini, renungkan dan pikirkanpertanyaaan berikut.1. Bila diketahui dua bangun datar yang ukuran-ukurannyasebanding, apakah pasti kedua bangun itu sebangun?Jelaskan.2. Adakah dua bangun datar yang selalu sebangun? Jelaskan.3. Diketahui dua bangun datar yang sebangun. Salah satupanjang sisi dari satu bangun tidak diketahui. Panjang sisiyang lain dari kedua bangun datar itu diketahui.Bagaimana cara mencari panjang sisi yang tidak diketahuiitu?4. Dua segitiga yang kongruen memiliki ciri, yaitu sisi-sisiyang bersesuaian sama panjang. Benarkah pernyataan itu?Jelaskan dan beri contoh.5. Dua segitiga yang kongruen memiliki ciri, yaitu keduasudut yang bersesuaian dari dua segitiga itu sama besardan panjang sisi yang diapit kedua sudut itu sama panjang.Benarkah pernyataan itu? Jelaskan dan beri contoh.6. Adakah materi yang masih sulit untukmu? Beranikan untukbertanya pada guru atau temanmu.Rangkuman
Matematika SMP Kelas IX 355.Dua bangun datar dikatakan kongruen, jika memilikiukuran dan bentuk yang tepat sama.6.Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat, yaitu sisi-sisi yang seletak sama panjang.7.Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat, yaitusudut-sudut yang seletak sama besar.8.Dua segitiga akan kongruen jika:a.ketiga sisi pada segitiga pertama sama panjangdengan ketiga sisi yang bersesuaian pada segitigayang kedua(s, s, s).b.dua sisi pada segitiga pertama sama panjang dengandua sisi yang bersesuaian pada segitiga kedua, dankedua sudut apitnya sama besar (s, sd, s).c.dua sudut pada segitiga pertama sama besar dengandua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua,dan sisi yang merupakan kaki persekutuan keduasudut sama panjang (sd, s, sd).Pilihlah jawaban yang paling benar dengan memberi tandasilang (X) pada pilihan yang diberikan.1. Perhatikan gambar dibawah ini. Panjang ABadalah ... A. 5 cm B. 7,5 cm C. 8,5 cm D. 10 cm2. Perhatikan gambar dibawah ini. Jika segiempatABCD sebangun dengansegiempat DEFG, makapanjang BC adalah ....20 cm 20 cm KLMABABD G E F C12 cm 3 cm 6 cm Evaluasi Mandiri
36BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan3. Segitiga yang ukuran sisinya 3 cm, 4 cm, dan 5 cmsebangun dengan segitiga yang ukuran sisi-sisinya ....A. 8 cm, 15 cm, dan 17 cmB. 5 cm, 12 cm, dan 13 cmC. 9 cm, 12 cm, dan 15 cmD. 20 cm, 16 cm, dan 12 cm.4. Dua buah segitiga pada gambar dibawah ini adalahkongruen, sehingga panjang AB sama dengan ...A.PRB.QRC.PQD.RPBAC00PQR5.'PQR sama kaki dengan PQ = QR = 18 cm dan PR = 12cm. Jika 'PQR kongruen dengan DABC, maka panjangAB adalah ... A. 8 cmB. 12 cm C. 16 cmD. 18 cm.Jawablah soal berikut dengan benar.6. Perhatikan segitiga disamping. Tentukannilai c dan d.cm7. Misalkan ABCDadalah jajargenjang.Dengan kongruensi,tunjukkan bahwa'ABC#'CDA.D C AB A. 8 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 12 cm
Matematika SMP Kelas IX 378. Diketahui 'PQR sebangun dengan 'PST, dengan ST = 9cm, QR = 6 cm, PQ = 4 cm, dan RT = 3 cm. Hitunglahpanjang PR, PT, QS, dan PS.9. Diketahui 'ABC dan 'PQR segitiga siku-siku dengan BC= QR, C = R. Tunjukkan bahwa AC = PR.10. Jika sebatang tongkat dengan panjang 3 m membentukbayangan 8 m, berapakah tinggi cerobong asap yangmembentuk bayangan 16 m pada saat itu?